Dyfrakcja na krysztale - sieć odwrotna
Interferencja fali materii towarzyszącej wiązce elektronów spowodowana jest periodycznością sieci krystalicznej, która odpowiada periodyczności potencjału elektrostatycznego w krysztale. Periodyczność potencjału oznacza, że nie zmienia się on po przesunięci o wektor translacji w krysztale:
\( U(\vec{r}) = U(\vec r + \vec T) \)
Każdą periodyczną funkcję można rozłożyć w szereg Fouriera:
\( U(\vec r)=\sum_{\vec k} U_{\vec k} e^{i \vec k \vec r} \)
gdzie \( U_{\vec k} \) są współczynnikami rozwinięcia, a \( \vec{k} \) stanowi pewien wektor.
Korzystając z warunku periodyczności :
\( \sum_{\vec k} U_{\vec k} e^{i \vec k \vec r}=\sum_{\vec k} U_{\vec k} e^{i \vec k (\vec r+ \vec T)} \)
otrzymujemy warunek:
\(e^{i \vec k \vec T}=1\)
Możemy więc wprowadzić wektor sieci odwrotnej \(\vec G \) dla którego powyższy warunek będzie spełniony:
\( e^{i \vec G \vec r}=1\)
Wówczas potencjał w krysztale można przedstawić jako:
\(U(\vec r)=\sum_{\vec G} U_{\vec G} e^{i \vec G \vec T}\)
Wektor \(\vec G=h \vec a^* + k \vec b^* + l \vec c^*\) (gdzie \( h \), \( k \), \( l \) oznaczają liczby całkowite) rozpina trójwymiarową sieć odwrotną, której wektory proste: \(\vec a^*\), \(\vec b^*\), \(\vec b^*\), można zdefiniować następująco:
\( \vec a^*=2 \pi \frac{\vec b \times \vec c}{\vec a \cdot(\vec b \times \vec c)} \)
\( \vec b^*=2 \pi \frac{\vec c \times \vec a}{\vec a \cdot(\vec b \times \vec c)} \)
\( \vec c^*=2 \pi \frac{\vec a \times \vec b}{\vec a \cdot(\vec b \times \vec c)} \)
Jak łatwo zauważyć podane wektory sieci odwrotnej spełniają zależność:
\( \vec G \cdot \vec T= n 2 \pi \)
gdzie \( n\) jest liczbą całkowitą, co gwarantuje spełnienie warunku:
\( e^{i \vec G \vec r}=1\)
W sieci odwrotnej warunek Bragga przyjmuję postać:
\(\Delta \vec k= \vec G\)
Jeśli założymy, że występują tylko elastyczne odbicia, to prawdziwy jest też związek:
\(|\vec k|=|\vec k '|\)
W przypadku sieci dwuwymiarowej: \( \vec{c}\rightarrow \infty \) co oznacza, że \( \vec{c^*} \rightarrow 0 \) stąd wynika, że siecią odwrotną będzie układ równoległych prostych prostopadłych do dwuwymiarowej powierzchni, rozłożonych w sposób charakterystyczny dla danego rozkładu atomów na płaszczyźnie.